Pre-Álgebra

Números naturales: aquellos que utilizamos para contar; es decir, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...

Números cardinales: cuando incluímos el cero a los números naturales; es decir, 0,1,2,3,4,5...

Números enteros: los números naturales, el cero y los enteros negativos; es decir, -3,-2-1,0,1,2,3,4,5...

Números pares: cuando un número es divisible por 2; es decir, 2,4,6,8,10...

Números impares: cuando un número no es divisible por 2; es decir, 1,3,5,7,9,11,13...

Número primo: número natural mayor que 1, divisible sólo por 1 y por sí mismo. Ejemplo: 2,3,5,7,11,13...

Número compuesto: número natural mayor que 1, que no es primo. Ejemplo: 4,6,8,9,10,12,14,15...

Divisible: cuando un número se divide por otro y el cociente es un número natural y el residuo es cero; es decir, el 4 es divisible por 2.

Factor o divisor: cuando un número natural al ser multiplicado por otro produce el número dado, al cual se le llama producto; es decir, los factores de 16 son 1·16, 2·8, 4·4 y los divisores de 16 son 1,2,4,8,16

Múltiplo: cuando un número puede expresarse como el producto del número dado por un número natural. Ejemplo: Múltiplos de 5: 5,10,15,20,25,30... Múltiplos de 8: 8,16,24,32,40...

Base: representa las veces que se multiplica un exponente; es decir, en x °, el ° es la base e indica las veces que x es multiplicado; es decir, 3² = 3 · 3.

Exponente: representa el número que la base es multiplicada; es decir, en x °, el x es el número multiplicado.

Factorización prima: expresión de dicho número como un producto de factores primos; es decir, 48 = 2 · 2 · 3 · 4.

Máximo común divisor: el divisor más grande de varios números; es decir, 12 es el de 12 y 36.

Mínimo común múltiplo: el múltiplo más pequeño de varios números; es decir, 2 es el de 18 y 24.

Orden de las operaciones: trabajar primero con lo que está entre paréntesis; simplificar las expresiones exponenciales; efectuar la múltiplicación o división de izquierda a derecha; efectuar la suma o resta de izquierda a derecha.

Propiedad conmutativa de la suma: es la suma de dos números no importa el orden; es decir, 5 + 3 = 3 + 5.

Propiedad conmutativa de la multiplicación: es la multiplicación de factores sin importar el orden; es decir, 2 · 4 = 4 · 2.

Propiedad asociativa de la suma: es la suma de tres números sin importar la asociación; es decir, (5 + 8) + 2 = 5 + (8 + 2).

Propiedad asociativa de la multiplicación: es la multiplicación de tres números sin importar la asociación; es decir, (2 · 3) · 9 = 2 · (3 · 9).

Propiedad distributiva: el producto de un número por la suma de los otros dos es igual a la suma de los productos individuales; es decir, 9 · (3 + 5) = 9 · (3) + 9 ·(5).

Opuesto de un número entero: es otro entero que está a igual distancia del cero; es decir, el opuesto de 5 es -5 y el opuesto de -5 es 5.

Valor absoluto de un número: es la distancia entre el número entero y el cero en la recta numérica; es decir, el valor absoluto de 3 es 3 y de -3 es 3. El valor absoluto del cero es cero.

Suma de enteros: positivo + positivo = positivo; negativo + negativo = negativo. Se suman los valores absolutos y se mantiene el mismo signo. Ejemplos: 8 + 9 = 17; -12 + (-13) = -25. Cuando es positivo + negativo o negativo + positivo, se halla primero la diferencia de los valores absolutos de los números. El resultado será positivo, si el número positivo tiene el valor absoluto mayor. El resultado será negativo, si el número negativo tiene el valor absoluto mayor. Ejemplos: 13 + (-6) = 7; -12 + 8 = -4; 4 + (-4) = 0.

Resta de enteros: positivo - positivo se tiene que transformar a negativo el segundo positivo y el signo de resta a suma; es decir, 9 - 4 = 9 + (-4) = 5. negativo - negativo se tiene que transformar en positivo el segundo negativo; es decir y el signo de resta a suma; es decir, -2 - (-8) = -2 + 8 = 6. positivo - negativo se tiene que transformar el negativo a positivo y el signo de resta a suma; es decir, 8 - (-4) = 8 + 4 = 12. negativo - positivo se tiene que transformar el positivo en negativo y el signo de resta a suma; es decir, -3 - 9 = -3 + (-9) = -12.

Multiplicación de enteros: positivo · positivo = positivo; positivo · negativo = negativo; negativo · positivo = negativo; negativo · negativo = positivo.

División de enteros: positivo : positivo = positivo; positivo : negativo = negativo; negativo : positivo = negativo; negativo : negativo = positivo.

Identidades Básicas

- Clausura de la Adición (la Suma).

- El sumando (o la diferencia) de dos números reales es igual a un númemero real.

- Identidad Aditiva :

a + 0 = a

- Inverso Aditivo:

a + (-a) = 0

- Asociatividad de la Adición (la Suma):

(a + b) + c = a + (b + c)

- Conmutatividad de la Adición (la Suma):

a + b = b + a

- La Definición de la Substracción:

a - b = a + (-b)

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- Clausura de la Multiplicación (el Producto)

- El producto (o el cociente si el denominador no es 0) de dos números reales es igual a un número real.

- Identidad Multiplicativa:

a · 1 = a

- Inverso Multiplicativo:

a · (1/a) = 1 (a =/= 0)

- Multiplicación por 0:

a · 0 = 0

- Asociatividad de la Multiplicación (el Producto):

(a · b) · c = a · (b · c)

- Conmutatividad de la Multiplicación (el Producto):

a · b = b · a

- Ley Distributiva:

a ·(b + c) = ab + ac

- La Definición de División:

a / b = a · (1/b)

Teoría de Conjunto

Conjunto finito: cuando posee un número determinado de elementos. En caso contrario, se llama infinito.

N = {0,1,2,3,...}

Z = {...,-n,...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...,n,...}

Q = números racionales (-1/3,123/436...) R= números reales

C = números complejos

Conjunto unitario: constituido por un sólo elemento

Inclusión y Pertenencia

Un conjunto A está incluido en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen también a B. En algún caso, un conjunto puede ser considerado como elemento de otro conjunto.

Relaciones Binarias

Sean A y B dos conjuntos dados. Se dice que se ha definido una relación binaria R entre los elementos de A y B ,cuando se ha dado una propiedad p tal que cualquier pareja (x, y), A·B cumple o no dicha propiedad p.

Si (x, y) pertenece a A·B se representa: x·R·y

Propiedades de las Relaciones Binarias

Propiedad reflexiva:
hay que llegar a demostrar que x·R·x

Propiedad simétrica:
se debe de demostrar que si x·R·y, entonces y·R·x también

Propiedad antisimétrica:
Si x·R·y, para que y·R·x, necesito x = y

Propiedad transitiva:
x, y, z A debemos demostrar que:
si x·R·y e y·R·z -> xRz

Relaciones de Equivalencia y Orden

Equivalencia:
Son aquellas que verifican las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Orden:
Es aquella que verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Si sólo verifica la antisimétrica y la transitiva se llama de preorden. Las relaciones de orden pueden ser: de orden total o de orden parcial; son de orden total si cumple la propiedad conexa, es decir, x·R·y ó y·R·x. En caso contrario será de orden parcial.

Clases de Equivalencia

Se llama clase de equivalencia respecto de R, definida por el elemento a que pertenece el conjunto C, al subconjunto formado por todos los elementos x·C que están relacionados con a. Toda clase de equivalencia contendrá, el menos , a su representante a.C[a] = {x de G / x·R·a}

Traduciendo Expresiones Algebraicas

Ejemplos más usados:

a. La suma de 2 y un número: 2 + d
b. 3 más que un número: x + 3
c. La diferencia entre un número y 5: a - 5
d. 4 menos que n: n - 4
e. Un número aumentado en 1: k + 1
f. Un número disminuido en 10: z - 10
g. El producto de dos números: a · b
h. Dos veces la suma de dos números: 2 ( a + b)
i. Cinco veces un número: 5x
j. El cociente de dos números: a : b

* Las letras representan el número desconocido o incógnita

Ejercicios de Problemas Verbales a Lenguaje Algebraico

Traduce usando símbolos:

1. La suma de dos números ____________________

2. 10 más que n ____________________

3. Un número aumentado en 3 ____________________

4. Un número disminuido en 2 ____________________

5. El producto de p y q ____________________

6. Uno restado a un número ____________________

7. 3 veces la diferencia de dos números ______________
______
8. 10 más que 3 veces un número ____________________

9. La diferencia de dos números ____________________